Cómo traducir a lenguaje algebraico el enunciado de los problemas. Ejemplos.



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A continuación vamos a ver cómo traducir expresiones de lenguaje común a lenguaje algebraico, con algunos ejemplos.
En los enunciados de los problemas de álgebra te encuentras con expresiones en el lenguaje habitual o lenguaje común, en las que una o más cantidades son desconocidas y necesitas traducir a lenguaje algebraico, para poder resolver el problema. Las cantidades desconocidas, son las llamadas incógnitas.

Expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas permiten traducir de lenguaje común a lenguaje algebraico e ir escribiendo la ecuación correspondiente para poder resolverla y calcular la incógnita buscada.
Una expresión algebraica es una combinación de incógnitas con números, relacionadas mediante operaciones matemáticas. Son expresiones de primer grado, de segundo grado, con una o con más incógnitas, etc.
Ejemplos de expresiones algebraicas pueden ser:

2x+3=5
4x-3y=0

Traducción de expresiones algebraicas de lenguaje común a lenguaje algebraico

Vamos a traducir a lenguaje algebraico las expresiones que más aparecen en los problemas de matemáticas. A los Alumnos Premium, además les enseño cómo deducirlas.

Cómo traducir a lenguaje algebraico expresiones relacionadas con números o cantidades

  • Un número cualquiera: x
  • El doble de un número: 2x
  • El doble del primero por el segundo: 2ab (utilizada en las fórmulas de productos notables)
  • El triple de un número: 3x
  • La mitad de un número: x/2
  • Un número dividido entre 3: x/3
  • La quinta parte de un número: x/5
  • Un número aumentado en 1 o un número más 1: x+1
  • Un número disminuido en 20: x-20
  • 15 menos que la mitad de un número: x/2-15
  • Un número par: 2x
Cualquier número que multipliques por 2 se convertirá en par, por tanto, multiplicando por 2 cualquier número nos aseguramos que es par.
  • Un número impar: 2x+1 ó 2x-1
Si a un número par, le sumamos o le restamos 1, se convierte en impar. Por eso, nos aseguramos que es par multiplicándolo por 2 y luego lo convertimos en impar sumando o restando 1.
  • Dos números consecutivos: x, x+1
Para que dos números sean consecutivos, el primero puede ser cualquier número (x) y al segundo le sumamos 1. Si seguimos sumando 1, los números siguen siendo consecutivos (x+2, x+3, x+4…)
  • Dos números pares consecutivos: 2x, 2x+2
Los números pares van de dos en dos. Por tanto, para obtener el siguiente número a un número par le sumamos 2.
  • Dos números impares consecutivos: 2x+1, 2x+3
Los números impares también van de dos en dos. Por tanto, una vez tenemos un número impar, le tenemos que sumar 2 para tener el siguiente.
  • El cuadrado de un número: x²
  • El cubo de un número: x³
  • El exceso de un número sobre otro: x-y
  • El exceso de un número sobre 150: x-150
  • El exceso de 200 sobre un número: 200-x

Cómo traducir a lenguaje algebraico expresiones relacionadas con operaciones con números

  • La suma de un número más su mitad: x+x/2
  • La suma de dos números consecutivos: x+(x+1)
  • La suma de dos números pares consecutivos: 2x+(2x+2)
  • La cuarta parte de un número menos la quinta parte de lo que queda: x/4 – (3x/4)/5
    • La cuarta parte de un número: x/4
    • Lo que queda: x-x/4=3x/4
  • El doble de la suma de dos números: 2(a+b)

Cómo traducir a lenguaje algebraico expresiones relacionadas con porcentajes

  • El 23% de un número: 0,23x
  • Un numero reducido un 25%: 0,75x
  • Un número aumentado un 30%: 1,30x
  • El aumento del 7% de un número: 1,07x (¡cuidado! 1,7 sería un aumento del 70%)

Cómo traducir a lenguaje algebraico expresiones relacionadas con edad

  • La edad de una persona: x
  • La edad de una persona hace 4 años: x-4
  • La edad de una persona dentro de 5 años: 5+x
  • El doble de la edad: 2x
  • 6 años más que el triple de su edad: 3x+6

Cómo traducir a lenguaje algebraico expresiones relacionadas con geometría

  • El área de un cuadrado de lado x: x²
  • El perímetro de un cuadrado de lado x: 4x
  • El área de un rectángulo de base x y altura x+2: x(x+2)
  • El perímetro de un rectángulo de base x y altura x+2: 2x + 2(x+2)
Con todas estas expresiones, ya puedes traducir de lenguaje común a lenguaje algebraico muchos problemas y sólo te queda empezar a resolverlos.

Algunas palabras claves

PALABRAS CLAVES
Adición 
(+)		 Sustracción
( - ) 		 Multiplicación
( · ) 		 División
(÷ )
suma
añadir
más
aumentado por
más que		 resta
diferencia
menos
menor que
disminuido por
quitado de		 multiplicar
producto
veces 
de		 dividir
dividido por
cociente

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¿Para qué sirven los logaritmos?

Uno de los conceptos más difíciles de entender en las matemáticas estudiantiles actuales es el de logaritmo. Esta dificultad se acrecienta cuando lo único que enseñamos a nuestros alumnos de los logaritmos es "pura algoritmia" de cálculo sin mucha noción de comprensión.
Por otro lado, el avance para el cálculo y para la ciencia que supuso "la estrategia de los logaritmos", ha dejado de tener sentido desde el advenimiento de las máquinas que calculan.

Pincha en la imagen y mira un
libro real
 de tablas de logaritmos

Porque:
  • Los logaritmos se desarrollaron como una herramienta para hacer de forma más eficiente las multiplicaciones, las divisiones y la extracción de radicales cuando nos enfrentábamos a números muy grandes o, números con muchos decimales.
  • "El logaritmo" transforma un producto en una suma , un cociente en una resta, una potencia en una multiplicación sencilla y una raíz en una división sencilla.
  • Se usaban tablas que permitía obtener el logaritmo de cada número con una buena aproximación y, el proceso inverso, es decir, sabiendo el logaritmo, determinar el número al que le correspondía.
Cualquier estudiante de hace años que quisiese hacer una multiplicación como esta ...
0'02345678 x 1'67345678
conocía muchas cosas que, tal vez los estudiantes actuales conocen pero que entonces eran de una necesidad imperiosa para hacer "de manera eficiente" la operación y que al estudiante actual no le preocupa y jamás reflexionará sobre ella porque tiene una calculadora y, su profesor tampoco le exijirá que reflexione sobre ello. Algunas de estas reflexiones podrían ser:
  1. Puedo hacer las multiplicación sin decimales:
     0'00000012 · 0'00000025 =
    12 · 10-8 · 25 · 10-8=
    12 · 25 · 10-8 · 10-8=
    12 · 25 · 10-16
    En este caso preparado, la operación no necesita calculadora y, cuando lo entiendo y lo manejo con soltura, tardo menos en hacer esto que teclear en la máquina.
  2. Las tablas de logaritmos (en base 10) que se usaban no incluían todos los números del mundo mundial, porque si tenían el logaritmo de 12 y el logaritmo de 25 los antiguos estudiantes sabían perfectamente que:
    log(0'0000012) = log(12 · 10-8)=
    log(12) · log(10-8) = log(12) - 8
  3. Como log( a · b) = log(a) + log(b)
    log(12 · 25 · 10-16) = log(12)+log(25)+(-16)
  4. Ahora habría que buscar en nuestro libro de las tablas de logaritmos log(12) , log(25) y sumar para obtener:
    2'47712125
  5. Por último, buscando en nuestro libro de tablas la inversa del logaritmo, llamado antilogaritmo aunque en realidad es una exponencial de base 10:
    102'47712125
    Considerando que aquí todo alumno tenía que tener claro el concepto de interpolación, que lo más probable es que en nuestras tablas no apareciese el número 247712125 (observa que está sin decimales) sino que puede que estuviera 24771 y 24772, llegaríamos a la conclusión de que:
    102'47712125
    = 300 aproximadamente.
  6. Por último, recomponiendo todo, concluimos:
     0'0000012 · 0'000025 =
    12 · 10-8 · 25 · 10-8=
    12 · 25 · 10-8 · 10-8=
    12 · 25 · 10-16=
    10(log(12 · 25)-16=
    300 · 10-16=
    3 · 10-14
  7. Pero lo más importante es que todo estudiante de hace tiempo sabía que esta multiplicación debía hacerla empezando por el punto 1 anterior y, después, se hace mucho antes y de forma más precisa multiplicando a mano 12 · 25 = 300. Y cualquier estudiante de hoy, sin calculadora, se vería en un verdadero aprieto para hacer estos cálculos si no está estudiando en ese momento el tema que hable precisamente de estas cosas que, seguro que ya no se acuerda de cuál era y de cuándo fue.
Para una explicación más detallada de cómo y para qué nacieron los logaritmos, te aconsejo que leas las 13 primeras páginas del libro que aparece arriba. No tienes mas que pinchar sobre la imagen y te llevará al libro completo. Incluso puedes descargarlo a tu ordenador en PDF.
En esas 13 páginas te ilustra el proceso de cálculo y te permitirá hacer reflexiones sobre las propiedades de los logaritmos así como probarte a tí mismo en cuanto a "comprensión lectora" con un concepto no muy trivial.
La utilidad fundamental de los logaritmos en aplicaciones habituales de tu entorno se resumen en un principio: manejar escalas logarítmicas, es decir, reducir a sumas los productos o a productos las potencias.
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