La identidad de euler: Ecuaciones de primer grado

Definición: ECUACIÓN

Una ecuación es una igualdad algebraica, o sea, una igualdad en cuyos miembros hay letras (incógnitas) y números relacionados por operaciones aritméticas, que se verifica para algunos valores determinados.

Definición: SOLUCIÓN O SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN

La solución o soluciones de una ecuación son los valores que al sustituirlos en la ecuación hacen que la igualdad sea cierta.

En nuestro caso, cada solución de una ecuación estará formada por tantos números como letras tenga dicha ecuación.

Ejercicios:

1.- Calcula por tanteo el número que hay que poner en lugar de la letra (incógnita) para que la igualdad sea cierta:

a) x + 3 = 7

b) y – 2 = 6

c) 3 · x = 21

d) 2 · x + 4 = 12

e) 18 + y = 24

f) 4 · x – 3 = 17

Definición: RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

Resolver una ecuación es hallar las soluciones de la misma, o sea, calcular el valor que hay que darle a la incógnita para que resulte una igualdad numérica.

Definición: COMPROBACIÓN DE LAS SOLUCIONES

Comprobar las soluciones en una ecuación consiste en sustituir las letras por los valores obtenidos y ver si la igualdad resultante es cierta. Este paso conviene hacerlo siempre para ver si la solución que hemos obtenido es la correcta o no.

Ejercicios:

2.- Comprueba si 3 es la solución de la ecuación 2 · x – 2 = x + 1

3.- Comprueba si 4 es la solución de la ecuación 2 · x + 3 = x + 8

Definición: ECUACIONES EQUIVALENTES

Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.

Ejercicios:

4.- Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones e indica cuáles son equivalentes:

a) x + 3 = 4

b) x + 2 = 7

c) 2 · x = 10

d) 3 · x + 1 = x + 3

e) 3 · x = x + 8

f) 2 · x + 2 = x + 5

g) 2 · x + 1 = x + 4

h) 3 · x + 1 = x + 7

REGLA DE LA SUMA:

Si a los dos miembros de una ecuación se suma o se resta un número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.

Ejemplos:

1)Resuelve la ecuación: 3 · x – 1 = 2 · x + 4

Sumamos 1 : 3 · x – 1 + 1 = 2 · x + 4 + 1

3 · x = 2 · x + 5

Restamos 2 · x: 3 · x – 2 · x = 2 · x + 5 – 2 · x

x = 5

2)Resuelve la ecuación :

6 · x + 3 = 5 · x - 4

Restamos 3:

6 · x + 3 – 3 = 5 · x – 4 – 3

6 · x = 5 · x – 7

Restamos: 5 · x

6 · x – 5 · x = 5 · x – 7 – 5 · x

x = - 7

Ejercicios:

5)Resuelve las siguientes ecuaciones, aplicando la regla de la suma:

a)4 · x + 5 = 3 · x + 8

b)3 · x + 1 = 2 · x + 10

c)8 · x + 4 = 7 · x + 6

d)5 · x + 3 = 4 · x + 7

e)4 · x – 5 = 3 · x + 1

f) 6 · x – 2 = 5 · x + 4

g)x + 7 = 2 · x + 6

h) 14 · x + 4 = 13 · x – 8

REGLA DEL PRODUCTO:

Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.

Ejemplos:

1) Resuelve la ecuación: 7 · x = 35

Dividimos por 7:

x = 5

ECUACIONES CON PARÉNTESIS:

Para resolver ecuaciones con paréntesis:

1º Suprime los paréntesis.

2º Aplica la regla de la suma.

3º Aplica la regla del producto.

Ejemplos:

1.-Resuelve la ecuación:

5 · x + 6 · ( x + 1 ) = x – 2 · (x + 3 )

Suprimimos los paréntesis:

5 · x + 6 · x + 6 = x – 2 · x – 2 · 3.

Operamos:

11 · x + 6 = - x – 6.

Restamos 6:

11 · x + 6 – 6 = - x – 6 – 6.

11 · x = - x – 12.

Sumamos x:

11 · x + x = - x – 12 + x

12 · x = - 12.

Dividimos entre 12:

x = -1.

2.-Resuelve la ecuación:

2 – 2 · ( x – 3 ) = 4 · x – 4 · ( x – 3 )

Suprimimos los paréntesis:

2 – 2 · x – 2 · ( - 3 ) = 4 · x – 4 · x – 4 · (- 3 ).

Operamos: 2 – 2 · x + 6 = 12

- 2 · x + 8 = 12

Restamos 8: - 2 · x + 8 – 8 = 12 – 8.

- 2 · x = 4

Dividimos entre – 2: x = - 2.

Ejercicios:

7)Resuelve las siguientes ecuaciones explicando cada uno de los pasos:

a)2 · ( x + 2 ) + 3 · ( x + 4 ) = 31

b)3 · ( 2 · x + 1 ) = 2 · ( 2 · x + 7 )

c)3 · ( 3 · x – 4 ) = 4 · ( 2 · x – 1 )

d)7 · ( 2 · x – 1 ) = 3 · ( 4 · x + 1 )

e)6 · ( x + 1 ) – 4 · ( x + 1 ) = 0

f)2 · ( x – 1 ) – 4 + x = 12

Para la resolución de ecuaciones es muy importante tener en cuenta la regla de los signos y la prioridad de las operaciones.

Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación que tiene una sola incógnita con exponente 1.

Ejemplo 1:

Resolver la ecuación 3x + 4 = 16

Vamos a dejar en el primer miembro la incógnita y en el segundo miembro los números. Para ello debemos pasar 4 al segundo miembro. Como está sumando pasará haciendo la operación inversa (contraria) restando:

3x = 16 – 4

3x = 12

Para despejar “x” quitamos el 3. Como está multiplicando, pasará haciendo la operación inversa (contraria) dividiendo:

x = 4

Comprobemos si la solución obtenida es correcta. Para ello sustituimos su valor en la ecuación y vemos si la igualdad es cierta:

3 · 4 + 4 = 12 + 4 = 16.

Por tanto, es correcta.

Ejemplo 2:

Resolver la ecuación: 2 (x + 1) - 3 (x - 2) = x + 6

Tenemos que dejar en un miembro la incógnita. Para ello, operamos en la expresión y procedemos como en el ejemplo anterior:

2x + 2 - 3x + 6 = x + 6

2x - 3x - x = 6 - 2 - 6

-2x = -2

x =

x = 1

Comprobación:

2 (1 + 1) - 3 (1 - 2) = 1 + 6

2 · 2 - 3 ( -1) = 7

4 + 3 = 7

7 = 7. La solución es correcta.

Ejemplo 3:

En este caso, lo primero que debemos hacer es quitar los denominadores. Para ello, podemos aplicar en este caso que “ el producto de los extremos tiene que ser igual al producto de los medios “. El método más general consiste en reducir las fracciones a común denominador y posteriormente, igualar sólo los numeradores. De todas formas, vamos a hacerlo en este ejemplo de las dos formas.

MÉTODO 1:

9 (60 - x) = 3 (x + 12)

540 - 9x = 3x + 36

540 - 36 = 3x + 9x

504 = 12x = x 42 = x

MÉTODO 2:

3 (60 - x) = x + 12

180 - 3x = x + 12

180 - 12 = x + 3x

168 = 4x

= x 42 = x

Comprobación:

6 = 6. La solución es correcta.

Ejemplo 4:

Aquí tenemos fracciones restando( se hace igual si sumaran). El método a aplicar es calcular el m.c.m. de los denominadores.

Mcm(20, 14, 10, 21) = 420

21 (3x - 11) - 30 (5x + 1) = 42 (x - 7) - 20 (5x - 6)

63x - 231 - 150x - 30 = 42x - 294 - 100x + 120

-231 - 30 + 294 - 120 = 42x - 100x - 63x + 150x

-87 = 29x x -3 = x

Comprobación:

-1 - ( -1) = -1 - ( -1)

-1 + 1 = -1 + 1

0 = 0. La solución es correcta.

Ejemplo 5: La compra de trece lápices y siete rotuladores ha costado 8,1 €. Calcular el precio de cada uno, sabiendo que el importe de un rotulador es el doble que el de un lápiz.

Estamos ante un problema que precisa plantear una ecuación para resolverlo. Para ello, es conveniente organizar los datos.

Llamamos “x “ al precio de un lápiz.

Entonces, el precio de un rotulador será 2x

Precio de los trece lápices: 13x

Precio de los siete rotuladores: 7 (2x) = 14x

Por tanto: 13x + 14x = 8,1

27x = 2,5 x =0,3